EJ
Да, это стандартная процедура построения категории из набора протоморфизмов.
Мне кажется, один из нас
старается не понять другого
Size: a a a
2021 November 11
Oℕ
Вы отрицаете, что определение выше может служить определением категории?
EJ
EJ
Это протокатегория.
Oℕ
Ну это не протокатегория, потому что в протокатегории все морфизмы лежат в одном большом классе/множестве
Oℕ
В отличие от данного мной определения
EJ
Я всё-таки продолжу считать, что у морфизма должны быть однозначно определены начало и конец.
Oℕ
Ну они однозначно определены по построению
Oℕ
В моём определении вы всегда рассуждаете о морфизме только если вам заранее известны его домен и кодомен
EJ
О необходимости проделать которое в вашем определении не сказано.
Oℕ
сказано
EJ
В каком из пунктов?
Oℕ
Хотя моё определение не очень строгое, я согласен, т.к. не отвечал на вопрос, как определить категорию
Oℕ
во втором "множества морфизмов для каждой пары объектов", здесь неявно закодирована мысль, что множества объектоа не обязательно связаны, и вам обязательно нужно сначала иметь пару объектов, чтобы рассуждать о множестве морфизмов между ними и о его элементах
Oℕ
Но опять же, это не определение, исходный вопрос был "что нужно определить, чтобы задать категорию", думаю, даже если бы я был полностью согласен с вами, я всё равно перечислил бы те же пункты, оставив детали за кадром, т.к. формализмов категорных много и детали разные
EJ
Ну, рассмотрим объекты A, B, C и стрелку f. Любой паре объектов сопоставим множество из одной этой стрелки. Hom(A, B) = Hom (A, A) = {f}.
Oℕ
так
EJ
f является id для любого объекта. Для любых объектов X, Y, Z и любых стрелок p из hom(X, Y), q из hom(Y, Z) однозначно определена композиция, именно: qp=f. Ясно, что такая композиция ассоциативна и что id обладают нужными свойствами.
Oℕ
Да, это частный случай "предпорядка", о котором я говорил тут https://t.me/ru_catheory/15429