3 ^ 3 - это количество всех эндоморфизмов в {3}

я же написал правильный ответ https://t.me/ru_catheory/15324

для множества размера N количество идемпотентных будет Sum(k = 0 to n) (C(n, k) * (n - k) ^ k)

вы определяете размер образа - 1, 2 или 3 элемента, на образе функция должна быть айдентити, на остальных элементах - отображаться в образ

вот и получается 10 функций
3 с образом в 1 элемент
[1 -> 1, 2 -> 1, 3 -> 1]
[1 -> 2, 2 -> 2, 3 -> 2]
[1 -> 3, 2 -> 3, 3 -> 3]
6 с образом в 2 элемента
[1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 1]
[1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 2]
[1 -> 1, 2 -> 1, 3 -> 3]
[1 -> 1, 2 -> 3, 2 -> 3]
[1 -> 2, 2 -> 2, 3 -> 3]
[1 -> 3, 2 -> 2, 3 -> 3]
и последняя с образом в 3 элемента, айдентити
[1 -> 1, 2 -> 2, 3 -> 3]

если считаете, что их больше приведите хотя бы ещё одну функцию

все, я понял. спасибо большое за такой развернутый ответ. действительно, получается все логично.
в прошлый раз bourbakii объяснял то же самое, только сейчас я это увидел

а где тут A и B?

|B|^|A| ответ?

или вот эти кругляши и есть A и B?

нигде про это не написано

да, множества А и В

тут на седьмом задании проще понять способ решения

идемпотентные функции всегда имеют фиксированные точки, от 1 до мощности, а все остальные точки отображаются в какую-то из этих фиксированных точек

осталось комбинаторным образом найти количество таких функций

в седьмом задании можно просто перебрать

1. одна фиксиронная точка
{a -> a, b -> a}
{a -> b, b -> b}
2. две фиксированные точки
{a -> a, b -> b}

ответ - 3 отображения

пруф того что хотя бы одна точка есть и что остальные отображаются в какую-то фиксированную точку:
пусть f(x) = y
мы знаем что f(f(x)) = f(x), значит f(y) = y, y - фиксированная точка, x отображается в нее

ну бтв это верно ток на непустом множестве

Да, точно, спасибо за помощь!

Что здесь думают про теорию клеточных автоматов. Есть ли смысл её изучать?

Попробуйте

Чем это может быть полезно?

Может быть знают в группе "Теория клеточных автоматов"

Нет такой группы, к сожалению

Придумайте сами

Тут придумывают только в чём польза теорката

разве не  k^(n - k)  должно быть? вместо  (n - k) ^ k

число отображений из дополнения в выбранное подмножество же