X
Size: a a a
2021 September 08
X
МБ
Изоморфизм - это частный случай морфизмов (стрелок) в некоторой категории. Функтор - это набор отображений множеств стрелок из одной категории во множества стрелок другой категории.
X
Изоморфизмы - это отображения, сохраняющие структуру для объектов, а функтор - для категорий?
МБ
Нет. Изоморфизмы - это стрелки со свойством, что есть обратная стрелка. Стрелки не обязательно должны быть отображениями.
Функтор - это отображение категорий, сохраняющий структуру композиции стрелок.
Функтор - это отображение категорий, сохраняющий структуру композиции стрелок.
X
Сегодня на алгебре преподаватель говорил, что изоморфизм - это отображение, для которого выполняется f(a*b)=f(a)*f(b)
МБ
Это гомоморфизм. Изоморфизм - это такая f : A -> B, для которой существует g, что f . g = 1B, g . f = 1A. 1A и 1B - тождественные стрелки для A и для B, точка - композиция.
В категории, например, групп, где стрелками являются гомоморфизмы, изоморфизмы будут изоморфизмами групп. А в категории матриц, например, изоморфизмами будут обратимые матрицы.
В категории, например, групп, где стрелками являются гомоморфизмы, изоморфизмы будут изоморфизмами групп. А в категории матриц, например, изоморфизмами будут обратимые матрицы.
X
В голове всё перемешалось
NR
Слово изоморфизм может означать много что, в зависимости от того в какой категории это изоморфизм.
NR
То общее, что есть у них всех, определяется в категорных терминах.
АП
а если структура композиции стрелок не сохраняется, тогда что это?
МБ
Просто куча отображений hom-множеств?
KV
Можно сказать, что функтор — это гомоморфизм категорий
Соответственно, функторы в категории категорий будут морфизмами
Но функторы — это фигня специфичная категорий, а вообще морфизмы бывают самые разные, например, просто функции, отношения, числа, матрицы
Соответственно, функторы в категории категорий будут морфизмами
Но функторы — это фигня специфичная категорий, а вообще морфизмы бывают самые разные, например, просто функции, отношения, числа, матрицы
t
1. Функтор -- более общая концепция в том смысле, что он маппит не только обьекты, но и стрелки между обьектами в другие стрелки (функтор, в общем случае, действует между категориями)
2. Изоморфизм -- просто отображение между элементами категории такое, что для него существует обратное отображение. (изоморфизм действует внутри категории)
2. Изоморфизм -- просто отображение между элементами категории такое, что для него существует обратное отображение. (изоморфизм действует внутри категории)
NI
Функтор мапит стрелки, это в первую очередь.
И так, чтоб концы соединённых между собой стрелок были соединены после отображения.
А абстракцию категории вообще можно построить, не привлекая понятие объекта.
И так, чтоб концы соединённых между собой стрелок были соединены после отображения.
А абстракцию категории вообще можно построить, не привлекая понятие объекта.
МБ
Есть даже ощущение, что лучше так и строить, чтобы меньше сущностей в голове держать.
NI
Чуть неудобно получается с 2-категориями.
А так да.
А так да.
ΑZ
бтв а почему g = h? Если мы возьмем для простоты A = Int, B = Bool, то f x = x > 0, h = const 0, g = const 10. Всё сходится, нет?
A
Композиции не сойдутся
f . h = ?
f . h = ?
ΑZ
ну в моем примере получается категории нет? Или где я ошибся? Я просто че-то смутно у бартоша помню про композиции, но мне казалось что могут пути разный результат давать иногда