А как читать
F: A -> B
?

Отображение F?

Понял

морфизм из а в бэ

Судя по большой букве наверное функтор  всё таки

А функтор это когда, например, переводят кватернионы в роторы, но при этом все операции с ними сохраняются?

Точнее, операции по смыслу такие же, но называются по другому

Ковариантный функтор переведёт объекты в объекты, морфизмы в морфизмы, сохраняя едничиные морфизмы и композиции. Контравариантный функтор переведет объекты в объекты, морфизмы в морфизмы в обратном направлении, сохраняя композиции(но меняя порядок) и единичные морфизмы.

функтор это тоже морфизм

и морфизмы и объекты часто большими буквами обозначаются, и маленькими и латинскими и греческими и пиктограммами, это мало о чём говорит

Помогите, пожалуйста, разобраться с леммой Йонеды. Я не могу интуицию выработать, поэтому решил нарисовать простой пример.

Осиливаю теоркат по книжке Б.Милевски "Теория категорий для программистов". Соответственно, и обозначения оттуда.

Итак, пусть есть категория с тремя объектами 1, 2, 3 (слева вверху). Между 1 и 2 два морфизма, обозначил их "5" и "6".

Зафиксируем объект 1 и построим функтор C(1, _), часть рисунка справа вверху. Морфизмам 5 и 6 соответствуют морфизмы C(1,5) и C(1,6).

Для функтора F получается картинка справа внизу. Функтор переводит объект 1 в множество {101}, объект 2 в множество {102, 202}, и объект 3 в {303}. Ну и морфизмы 5 в F5 (это функция 101 -> 102), 6 в F6 (функция 101 -> 202).

Согласно лемме Йонеды (для данной схемы, Nat(C(1, _), F) ~ F1, у нас может быть только одно естественное преобразование, т.к. F1 это {101}, которое состоит из одного элемента.

Но мы же можем морфизмы C(1,5) и С(1,6) двумя разными способами отображать в F:

C(1,5) -> F5; C(1,6) -> F6

и

C(1,5) -> F6; C(1,6) -> F5

Как так? Один способ не "естественен", что ли? И если да, то почему?

естественное преобразование состоит из набора стрелок F(a) -> G(a), для каждого объекта, образы морфизмов оно не связывает

в данном случае у нас есть нетривиальный выбор только для C(1, 2) -> {102, 202} из четырёх функций, но только одна из них делает преобразование естественным

Да, тогда всё сходится, спасибо!!

http://www.oliviacaramello.com/Unification/InitiativeOfClarificationResults.html топосная драма

Взгляд лишь с одной стороны не очень интересен.

жоска