DG
Правильно ли я понимаю, что из этого следует, что единственный морфизм 1a в категории с одним объектом — тоже и эпи и моно?
Size: a a a
2021 August 13
Oℕ
айдентити сам по себе всегда эпи и моно
Oℕ
точнее всегда изоморфизм
Oℕ
что сильнее
DG
Да, точно, вспомнил. Спасибо!
NR
Сама формулировка "для любых двух" говорит что это верно когда двух не найдётся
DG
Да, именно в этом и был вопрос. Спасибо!
Oℕ
Приведённая категория вообще не просто предпорядок, а мать всех предпорядков
V
А кто тогда отец всех предпорядков?)
Oℕ
это как с митохондриями, предпорядочность по материнской линии передаётся
ЕО
Порядок всех малых ординалов?
NI
Они все порядочные!
DG
Почти все ответы выше тем или иным образом затрагивают то, что между a и b всего одна стрелка f.
Поэтому спрошу ещё один, чуть изменённый вопрос :)
Если в категории всего 2 объекта (a и b) и 4 стрелки (f1: a -> b, f2: a->b, 1a: a -> a, 1b: b -> b), то являются ли f1 и f2 эпи и моно?
Мне кажется, что логика, описанная выше, работает:
Поэтому спрошу ещё один, чуть изменённый вопрос :)
Если в категории всего 2 объекта (a и b) и 4 стрелки (f1: a -> b, f2: a->b, 1a: a -> a, 1b: b -> b), то являются ли f1 и f2 эпи и моно?
Мне кажется, что логика, описанная выше, работает:
У нас из подходящих стрелок есть только 1b.Я прав?
Из 1b . f1 = 1b . f1 следует 1b = 1b, поэтому f1 это эпи.
Также для f2.
A
Да
SK
Добрый день.
Я нашел подход, как можно описать product в терминах теории категорий.
product A x B для объектов A и B - это терминальный объект в категорий всех объектов X_i с морфизмами X_i -> A и X_i -> B. Терминальный объект для категории можно определить через adjoint c категрией *: https://ncatlab.org/nlab/show/terminal%20object
Остается только определить категорно все объекты X_i категории C с парой морфизмов X_i -> A и X_i -> B. Можно определить категорию D из трех объектов X, A, B и морфизмов X -> A, X -> B и диаграмму J: D -> C такую, что J(A_D) = A_C, J(B_D) = B_C (1)
Тогда рассмотрим категорию C^D всех функторов J со свойством (1). Образы всех этих функторов J(D) дают нужную подкатегорию X_i, терминальный объект в которой - product
Я нашел подход, как можно описать product в терминах теории категорий.
product A x B для объектов A и B - это терминальный объект в категорий всех объектов X_i с морфизмами X_i -> A и X_i -> B. Терминальный объект для категории можно определить через adjoint c категрией *: https://ncatlab.org/nlab/show/terminal%20object
Остается только определить категорно все объекты X_i категории C с парой морфизмов X_i -> A и X_i -> B. Можно определить категорию D из трех объектов X, A, B и морфизмов X -> A, X -> B и диаграмму J: D -> C такую, что J(A_D) = A_C, J(B_D) = B_C (1)
Тогда рассмотрим категорию C^D всех функторов J со свойством (1). Образы всех этих функторов J(D) дают нужную подкатегорию X_i, терминальный объект в которой - product
SK
Осталось проработать хороший синтаксис для описания категории C^D функторов со свойством (1), чтобы писать это категорно, а не словами) Это в процессе.
SK
Я посмотрел коротко эту ссылку, спасибо за нее. Прокачивает хорошо.
Oℕ
я так и не понял, чем product исходно не в терминах теории категорий
SK
Ну вопрос в том, как можно для определения product показать категорную диаграмму и сказать, вот этот объект в диаграмме - product