А почему именно 3-категории?

По Stewe Awodey forall - это тоже adjoint. Но, кажется, так не определить forall.
Только, если forall уже определен, можно заметить, что он является adjoint

Для сопряженных функторов F, G попробовал вывести G при F = Δ

У меня получилось, что для C со стрелками f: C -> A и g: C -> B следует существование стрелки (f, g) из (C, C) -> (A, B).

Из этого следует существование объекта X и стрелки h: С -> X.
Но не доказать существование стелок p: X -> A и q: X -> B и тем более коммутативности диаграм: f = h∘p, g = h∘q

Получается, что если в категории product есть, то он конечно, является adjoint к Δ

Правда, Awodey показывает, что если к функтору F есть правый adjoint G и другой правый adjoint U, то U ≅ F

так что да, если в категории C есть все произведения, то ✕ будет adjoint к Δ, и любой другой adjoint функтор изоморфен к ✕

определение product с единственностью h из этого, кажется, не выходит 🙁

Спасибо за ответ. Покопаю в эту сторону (т.е. 3-категорий)

ну там слева равенство между равенствами моризмов, я так интуитивно подумал, что 2-к категоризирует равенства между морфизмами, а 3-к между равенствами

ну это известный факт, но обычное сопряжение само по себе не менее "метакатегорно" определяется

есть обобщение сопряжения в двойных категориях с так называемым proarrow equipment

https://ncatlab.org/nlab/show/2-category+equipped+with+proarrows#HomsetAdjn

я не думаю, что без infty -категорий удастся как-то избежать формулировок на каких-то равенствах на множествах

самым категорным, наверное можно считать определения всяких глобальных универсальностей через расширения Кана, но опять же там-таки используется внешнее понятие равенства

Посмотрел - вот этот факт следует из леммы Йонеда, которая формулируется в терминах функтора в категории функторов - близко к 3-категориям

Если в категории всего 2 объекта (a и b) и 3 стрелки (f: a -> b, 1a: a -> a, 1b: b -> b), то является ли f эпи и моно?

Например, в определении для эпи сказано, что:

Если для любых двух стрелок g1, g2: b -> c ...

А в данном примере стрелка b -> c (при с = b) всего одна, это 1b.

Как правильно формально применять такое определение в данном случае?

Так как 2 стрелки не нашлось, то для всех случаев из определения (а их тут 0 случаев) указанные требования выполняются и тогда f — это эпи? Или наоборот?

В категории из двух объектов минимум две стрелки: idA, idB

Я не стал явно писать про единичные морфизмы, думал это очевидно)

Отредактировал сообщение.

Но вообще да, правда. Любые две стрелки из A в B равны

в любом предпорядке любой морфизм эпи и моно

в предпорядках коммутируют все диаграммы,  все свойства основанные на равенстве морфизмов выполняются