1. Для начала просто просмотрите сайт, ознакомьтесь. Заведите текстовый файл, кидайте заметки насчет того где на сайте что-то не так.
2. Детально просмотрите верстку для нескольких широт экрана. Есть макеты - сравнивайте, нет - полагайтесь на свой опыт пользователя.
3. Если сайт позволяет отправлять какие-либо формы, проверьте валидаторы. Особенно с email часто беда. Но без фанатизма, я в свою первую неделю автоматизировал проверку валидаторов и случайно директора заспамил. HR вообще в панике был, думал на нас DDOS атаку устроили.
4. Когда разработчик заканчивает какую-то работу, проверяйте. Это важно. Часто они только думают что закончили работу.
5. Если есть свои идеи относительно того почему на сайте что-то не так или что можно было бы сделать иначе - вносите аргументированное предложение.
6. Если открытие DevTools стало привычкой - вы движетесь в верном направлении.
Начните с этого, а там видно будет.