Это, кстати, интересно было бы увидеть, но мне кажется по своей сути asyncpg не так написано.
И, там же и постгреса версия должна быть соответствующая, так?
Ещё до внутринки не успел добраться, но сам psycopg2 если работать с потоками умеет шарить коннект, postrgresql соответсвенно тоже умеет) в общем есть куда покапать, а то пачка асинхронных приложений весьма может быстро выедать коннекты, и pgbouncer особо не спасёт