Просто степенные ряды очень хороши в плане сходимости: если они сходятся где-то, то сразу сходятся в круге, на границе которого лежит данная точка, причем равномерно как функциональный ряд по переменной на любом компакте, лежащем в круге, и абсолютно в смысле обычной сходимости рядов