Кто что кстати думает о его наследии?

Рыбников помер. Вот его наследие большое

Кубаноиды скорбят...

А выполняется ли для всех комплексных z   |sin z| <= |z| ?

может знает кто

нет, конечно

Нет. Например, для чисто мнимых аргументов sin(i x) = i sh(x), а гиперболический синус возрастает экспоненциально.

z = 10i, например

😱 Как думаете, какую непереодическую ф-цию f(z) можно придумать, которая бы принимала все положительные значения и |sin z|< f(z)

e^|z| подойдёт, как думаете???

(неравенство треугольника в комплексн плоскости + ряд тейлора)

А почему неравенство треугольника верно для бесконечной суммы в этом случае?

(Подсказка: оно верно, но полезно понять, почему это можно сделать)

по одному слагаему "отделять" от бесконечной суммы, и такое "отделение" проделать счетное число раз?

Нет, такой подход неверен, потому что может оказаться, что ряд из модулей расходится. Тут дело в том, что для степенного ряда верна теорема Абеля: если обычный степенной ряд сходится в точке x_0, то он абсолютно сходится (т.е. ряд модулей сходится) на всем открытом круге |x| < |x_0|. Для синуса это очевидно, потому для него есть такое неравенство и Вы и правда можете проделать такую запись.
Я к тому, что анализ не только про какие-то вычисления, но еще и про понимание того, когда вычисления всяких пределов, интегралов, бесконечных сумм и т.п. проделываются верно. Тем более что в комплексном анализе очень важно понимать связь между голоморфностью и аналитичностью, т.е. между сходимостью степенного ряда функции и ее комплексной дифференцируемостью.

Ну разошелся ряд, ну и что? Чему это противоречит?

К какой функции он тогда сходится в окрестности этой точки?

Так тут не произвольный ряд, а конкретный )) Ведь он не может разойтись, поскольку e^x аналитична при любом x>0 . И тут используем теорему о том что если ф-ция аналитична, то существует сходящийся ряд Тейлора, которому ф-ция равна