КП
Окей, а почему тогда отображение между ними будут гладкими, и будут сохранять скалярное произвдедение на касательных пространствах?
Size: a a a
2021 June 07
КП
Может, так делают в любом учебнике, но мне это как-то не очевидно.
MT
Потому что любые морфизмы в Rm гладкие
MT
Поэтому когда мы прыгаем из метрических пространства в многообразия изометрия снабжается гладкостью
КП
Это мы рассматриваем категорию с такими морфизмами, или это теорема, что изометрия между ними гладкая?
КП
По-моему, это содержательное утверждение, что любая функция, сохраняющая между ними расстояние, гладкая.
КП
И более того сохраняет скалярное произвдедение на ТМ.
КП
Вы можете сказать, где или как это доказывается?
MT
Так мы спорим не про то что это диффеоморфизм
MT
А про то что он расстояние сохраняет
КП
Так. Смотрите.
КП
Есть римановы многообразия. Можно определить расстояния.
MT
Диффеоморфизм сохраняющий расстояния это изометрия
MT
Любой
КП
Вариант 1 Мы определяем изометрию как диффеоморфизм, сохраняющий скалярное произвдедение на ТМ.
Вариант 2 - мы определяем это как биекцию, сохраняющую расстояния.
Вариант 2 - мы определяем это как биекцию, сохраняющую расстояния.
КП
Понятно, что все 1 является 2.
КП
Обратное кажется не очевидным.
MT
Вариант 0 мы определяем это как морфизм сохраняющий расстояния
КП
Изометрия в смысле сохранения произведения? Наверное.
КП
Можно и так. Но так-то просто сохранения расстояний или мало, или достаточно, но мне это не очевидно.