Добрый день, решал такую задачу: в остроугольном треугольнике с одной вершины провели высоту, со второй бисектрису, со третьей медиану. Может ли случится так, что биссектриса и медиана делят высоту на три равных отрезка? Я следовал такой логике: если такой треугольник действительно существует, то тогда должны одновременно без противоречий исполняться 5 условий:
1) все углы треугольника меньше 90°
2) высота АН должна быть разделённая на три равных отрезка
3)угол AHC =90°=углу AHB
4)должно исполняться свойство медианы СМ - сторона АВ должна быть разделённой на 2 равных отрезка
5)должно исполняться свойство биссектрисы BL (относительно отношений отрезков)
Я рассмотрел 2 случая, когда биссектриса пересекает высоту выше относительно точки А чем медиана и когда наоборот - ниже.
После этого записал что AH=3x, а AB=2y, после этого с теоремы Пифагора нашёл BH. Далее записал свойство бисектрисы (пусть медиана пересекает высоту в точке Q, а биссектриса в точке P) AP/AB=PH/BH, в случае когда биссектриса пересекает высоту выше чем медиана вышла уравнение 12y^2=-9x^2, поэтому я этот вариант исключил. Во втором же варианте вышло, что y=x*sqrt(3), поэтому поскольку все условия были соблюдены я пришел к выводу что такой треугольник может существовать. А в решении пишет такое: нет, не может, от противоречивого легко доказать, (как?) что Q лежит между А и Р, а потом одержать противоречие, исходя из того, что средняя линия MN делит высоту АН на два равных отрезка.
Объясните пожалуйста решение задачи и если будет время и желание в чём ошибка логики по которой я следовал