Тег img, как мы знаем, может принимать в качестве src ссылки на веб-ресурсы, я думаю что достаточно будет передать её в пропах (e.g <Message profile_picture="https://some-resource/picture.png">) и в самом компоненте использовать в img как <img src={props.profile_picture} >
Это лишь моё предположение, я не эксперт и могу ошибаться, пусть меня поправят
Он главное даже первый раз после запуска сервера может в обычном режиме даже заработать. Но я заметил странную штуку, если на кнопку навести - верстка бегать начинает.