Его легко вынести в Main компонент и спозиционировать. Но вот на той странице со всеми стилями тяжело, было бы круто именно вставить туда контейнер, а не шаманить с абсолютными значениями. Смотрю в сторону ReactDOM.createPortal()
Переподключать то можно, но идёт загрузка, переподключение, может пару секунд потеряться и т.д. Странно что нет какого-то простого способа "переместить" компонент в DOM-дереве
Короче тебе надо сделать плеер и там и там, и сделать один флаг так чтобы они оба могли его видеть, если флаг false то в футере плеер виден а в основе нет, если флаг true то наоборот
Но в таком случае будет подключено два разных компонента и будет то самое переподключение к лайв трансляции. А если просто скрывать и трансляция будет продолжаться - двойной трафик на основной странице