Неожиданно, что по тригонометрии бывают книги.
Углу на плоскости соответствует единичный вектор, образующий этот угол с некоторым начальным единичным вектором. Начальным вектором выбирается (1,0) в декартовых координатах. Косинус угла это абсцисса вектора, синус — ордината. Теорема косинусов и определение скалярного произведения дают алгебраическое выражение cos(α−β) через cos,sin от α,β. Нехитрые подстановки дают все остальные нужные алгебраические выражения.
О чем еще можно написать?
Ясно, что выбор начального вектора и напоминания о подобии треугольников это некоторые лишние рассуждения, не относящиеся к сути дела. От них можно избавиться определяя косинус и синус не как координаты векторов, а как координаты линейных операторов поворота на угол. Это полезный контент, но не думаю, что он где-то есть в книгах такого уровня.