попробуйте его дернуть из розетки и посмотрите в каком режиме он потом включится. Все мониторы что я видел, запоминали состояние.
Что касается релюшки, в общем проблемы я не вижу. Подсветка сейчас LED, то есть дохнуть от включения/выключения особо нечему.
Но есть нюанс: у монитора Импульсный БП и в момент включения заряжаются емкости - идет большой ток, какой неизвестно но запросто может быть сотни ампер ) Так что релюшка может и привариться через несколько включений.