Для добавления телефона у меня работает:
fields[PHONE][0][VALUE]=
Но в телефонах есть ещё и Ид, если надо обновить конкретный номер.
Может, нужно каждый раз полный список передавать?
fields[UF_CRM_1597171020][0][value]=,
fields[UF_CRM_1597171020][1][value]=...