NR
Set* это множества с отмеченной точкой?
Size: a a a
2021 December 10
s
Если так, то ответ прост: в Set нет объекта, являющегося одновременно начальным и терминальным.
J
@JeremyCarter0: user has been CAS banned
A
Нет. Двойственная категория к категории Set
V
например потому, что в Set умножение дистрибутирует над сложением, а в Set* нет
A
Не понимаю. Категории изоморфны, если существует два функтора F и F^{-1} , для которых выполняется F * F^{-1} = id_{C}; F^{-1} * F = id_{D}, где C и D некоторые категории. Как это связано с тем, что вы написали?
V
чтобы доказать, что одна категория не изоморфна/эквивалентна другой, достаточно найти свойство, которым обладает одна категория, но не обладает другая
V
это свойство должно сохраняться изоморфизмами/эквивалентностями, но это верно для всех адекватных свойств, в частности для того, которое я написал
A
Аа, понятно. Тогда можете, пожалуйста, пояснить что значит "умножение дистрибутирует над сложением"?
V
A * (B + C) = (A * B) + (A * C), где * — декартово произведение, а + — размеченное объединение
V
в Set* эти операции будут поменяны местами, и это не будет верно
AM
Дистрибутивность * и х зависит от категории?
V
не понял вопроса, есть категории, где дистрибутивность выполняется, есть где нет
A
Ладно, вроде понятно. А как отстуствие данного изоморфизма можно объяснить из того, что для тождественного (ковариантного) функтора не существует контравариантного аналога?
s
Тогда потому, что из 1 может быть много стрелок, а в 0 только одна.
V
ну если бы они были эквивалентны, то у нас был бы какой-то контравариантный функтор, который еще бы и эквивалентностью был, только это не отвечает на вопрос как показать, что такого функтора нет
V
*из 1
s
Да.
A
Что такое 1 и 0?)
s
Терминальный и начальный объекты соответственно.