Oℕ
т.е. должен существовать какой-то универсальный для топоса объект Omega, который говорит, что задание "свойства" на X с помощью мономорфизма f эквивалентно какой-то специальной классификации в объекте Omega из объекта X
Size: a a a
2021 April 11
Oℕ
и вот очень интересно, что такое Omega в Set - оказывается это булевое множество, т.е. любое "свойство" эквивалентно "характеристической функции", которая просто для каждого элемента множества ставит 1 или 0, в зависимости от того, обладает он этим свойством или нет
Oℕ
и из этой "булевости"классификации классических множеств следуют всякие законы исключённого третьего и т.п.
Oℕ
я так понял идея в том, как много "логического аппарата" мы можем сохранить, если обобщим этот механизм задания и рассуждения о свойствах произвольных объектах с булевого множества до, возможно гораздо более сложного объекта
Oℕ
Поэтому в общем, топос, как я его понимаю - это некоторая структура, достаточно сильная, чтобы мы могли формулировать и рассуждать о самых разнообразных "свойствах" объектах внутри, выражая и свойства и логические рассуждения внутри самой этой категории
Oℕ
Если @Comonoid будет не лень, он меня поправит. Потому что я чисто с нубовской точки зрения тут говорю
P
что такое эквалайзер?
Oℕ
https://en.wikipedia.org/wiki/Equaliser_(mathematics)
разговидность простейшего конечного лимита, что-то вроде "подобъекта", на котором два заданных морфизма в какой-то другой объект сопадают
разговидность простейшего конечного лимита, что-то вроде "подобъекта", на котором два заданных морфизма в какой-то другой объект сопадают
P
понял, ага
Oℕ
в данном случае если спуститься ко множествам
мы уравняли rightAss(f) = lambda (x, y, z: A) => f(x, f(y, z)) и
leftAss(f) = lambda (x, y, z: A) => f(f(x, y), z))
мы уравняли rightAss(f) = lambda (x, y, z: A) => f(x, f(y, z)) и
leftAss(f) = lambda (x, y, z: A) => f(f(x, y), z))
P
вот тут я не понял, Omega определяется топосом? Тогда почему мы спрашиваем про Omega в Set, если Setы могут быть разные, если я правильно понял, где разница определяется выбором Omega
P
или тут какой-то конкретный Set
Oℕ
Omega определяется топосом, да
Set - здесь категория всех множеств
для всех множеств есть один Omega = {2}, множество из двух элементов
Set - здесь категория всех множеств
для всех множеств есть один Omega = {2}, множество из двух элементов
P
то есть нельзя находить разные Omega и получать разные категории множеств?
ЕО
Set это категория множеств, над которыми построена теория категорий. Set уникален
Oℕ
что значит "находить" разные Omega? вы должны задать Omega, чтобы построить топос
P
а эта уникальность = универсальности в каком-то смысле? и ее можно предъявить?
ЕО
Нет, уникальность означает то, что есть конкретный механизм построения, а не универсальное свойство
Oℕ
может быть существует другой топос, где объекты - множества и Omega другой, я не знаю, но это будет уже не Set
ЕО
Конечно существуют. Например в внутри ZF+кардинал Махло существует модель классического ZF. Над ней можно построить топос, его внутренняя логика будет классической ZF. Но этот топос не Set