Ну во-первых желаю удачи. Во-вторых: нативные модули пишутся энивей на objective-c потому реализованы как си макросы, ты максимум можешь враппер сделать на objC и вызывать свифтовый код из него. Что касается твоего вопроса:
Пример подписки на на нативный код
https://reactnative.dev/docs/native-modules-ios#sending-events-to-javascript. В твоем случае надо сделать аналогичный модуль что в примерах для CalendarManager и в методе startObserving подписывать на события UIApplication.userDidTakeScreenshotNotification у глобального NotificationManager(это то что делается в конструкторе контроллера с твоего скриншота) и при вызове селектора посылать [self sendEventWithName] Те то что в доке метод calendarEventReminderRecieved. Те короч говоря в целом в доке практической твой кейс описан с проброской NSNotification в JS код