ну можно обернуть всё это дело(компонент) в TouchableWithoutFeedback (position: absolite, left: 0, top: 0, height: 100% width: 100%), который будет персистить тэпы на компоненты ниже (shouldPersistTaps или что-то такое), а при этом сам хендлить тепы по себе в виде анмаунта самого себя