Вот исправленная рабочая версия:
https://rnplay.org/apps/jzaxpgПроблема были такие:
1. В _handleChangeText из responseJSON бралось
result.items.name, а нужно result.items
2. В renderRow в <Text> передавался объект (rowData), а там нужна строка. Этого было не видно потому, что в _handleChangeText в промисе ошибки не ловились. Если бы ловились и логировались, то сразу было бы видно.