В родительском компоненте делаешь стейт. Так же делаешь функцию колбек, что изменяет этот стейт. В SearchResultPage пробрасываешь значение стейта, а в инпут - функцию колбек.
Может я на правильно понял положение твоих компонентов.
Так в том то и дело, как я проброшу в searchResult, если эта страница у меня приходит как {children} в лэйаут?) я же не могу пробросить пропсы в пропсы которые ещё не пришли)