А вместо systemd там что? Не SysV же?
Нет, сам куб выступает в роли init-мэнеджера, ты запускаешь поды, каждый под - это набор контейнеров запускаемых вместе в одном сетевом пространстве (проще говоря на одной ноде с одним айпишником), в каждом таком контейнере запускается ровно один бинарник, который срёт логи в stdout, а куб как и systemd их собирает и позволяет посмотреть как:
kubectl logs pod-name -c container-name