СК
Первым делом стоит быть уверенным что подгрузка данных в mount оправдана в вашем случае, а не fetch asyncData.
Если действительно так, тогда либо следить за $route через watch((, либо
создать компонент принимающий id в качестве props, и им отрисовывать контент, тогда в хуке updated можно инициировать обновление данных.
