у меня запущен локально сервер, там что то происходит и летят логи. Могу ли я "рядом" запустить локальный сервер, который будет перехватывать эти логи?
Да. Только обычно делают немного иначе.
Приложение кидает логи в специальную БД, а уже остальные, кто мониторят/анализируют эти логи - вытягивают их из БД