На кнопку можно повесить только событие нажатия кнопки. Количество нажатий кнопки не будет равно количеству скачиваний.
Поставленная задача представляется достаточно сложной. И простого решения тут не предвидится.
Окно браузера, где начато скачивание ничего не знает о том, завершилось ли скачивание или нет. Т.е. джаваскриптом просто так это не узнать.
Я предполагаю, что проще всего попробовать записать информацию в лог веб-сервера. Это будет просто количество скачиваний. Может быть, можно туда же записать уникальный идентификатор какой. Но это надо спрашивать не на этом форуме.
Но если надо просто узнать. сколько раз скачали, то, видимо, надо в настройках веб-сервиса дописать 3-4 строчки. Должно сработать.
Опять же один юзер может несколько раз скачать.