Сам не делал но идея может быть такой:
Пишем простой сервер например на ноде.
jjax запросом по нажатию кнопки в браузере на апи передаем в этот сервер полный путь к файлу в системе.
Далее используя методы ноды запускаем webstorm, которому передаем в качестве параметра путь к файлу
"c:\program files\webStorm\bin\webStorm.exe" "c:\project\project1\src\app.js"