Я не понимаю просто как стороняя кнопка передаёт данные в ГК о том что вот этот вот пользователь подключил телегу. Завтра буду детальнее глядеть)
Никак. Если запустить бота, то он не узнает пользователя и попросит авторизоваться.
В геткурсе в каждом аккаунте есть ссылка /tlgrm, которая работает только для *авторизованного*.
Она как раз формирует такую ссылку на бота, чтобы сразу передать связку с юзером