В русском языке есть формы глаголов, которые совершенно неблагозвучны, а есть такие, которые в первом лице просто не употребляются.
Звучание глагола "прослезиться" в будущем времени 1 лица тоже достаточно странно - "прослежусь". Но тем не менее эта форма правильная, закреплена словарями, а именно в издании «Орфографический академический ресурс АКАДЕМОС» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН.
На некоторых языковых сайтах также присутствует "прослезюсь".
Но академический словарь оставляет только одну форму - "прослежусь" в качестве правильной, ее и стоит придерживаться.