Разница между BrowserTestBase и ExistingSiteBase в том, что первый ставит перед каждым тестом голую Друпал инсталяцию чтобы тестировать модуль в вакууме, а второй ничего не ставит, а запускает тесты прямо в текущем сайте с текущей базой.
Обычно кастомные модули прибиты жестко к конкретному сайту и контенту. Чаще всего это просто набор хуков, плагинов, которые привязаны каким то вьюхам, блоком и т.д. Иногда даже ИД нод важны. Поэтому тестровать такие модули в изолции не имеет смысла.
Скопируй модуль который нужно протестировать в чистый Друпал. Если его можно без проблем запускается и работает в нём, то значит для этого модуля можно писать тесты в изоляции.