Что такое предел последовательности?
Арифметическая последовательность с разностью d задается реккурентной записью xn+1=xn+d. Зная первый член последовательности x1 можно получить формулу для любого члена xnxn+1=x1+nd, n∈N
Геометрическая последовательность со знаменателейм q≠0 задается реккурентной формулой xn+1=xnq. Зная первый член последовательности x1 можно получить формулу для любого члена xnxn+1=xnqn, n∈N
Знаменитая последовательность Фибоначчи задается реккурентной формулойxn=xn−1+xn−2, n∈N, n≥3и условием x1 = 1, x2 = 1.
Определение предела последовательности.
Определение 1.
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε > 0 существует такой номер Nε, что для любого n≥Nε выполняется неравенство|xn−a|<ε.
Если а — предел последовательности, то пишут limn→∞xn=a или xn→a при n→∞.
С помощью логических символов данное определение можно записать в виде
{limn→∞xn=a}⇔∀ε>0 ∃Nε: ∀n≥Nε→|xn−a|<ε
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Таким образом, последовательность {xn} является сходящейся, если
∃a∈R: ∀ε>0 ∃Nε: ∀n>Nε→|xn−a|<ε
Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.