Сначала берёшь у юзера нужное содержание в ЛС, сохраняешь себе в БД и запихиваешь в кнопку что-то вроде ID из БД, допустим.
После нажатия кнопки достаёшь нужные данные и делаешь: bot.answer_callback_query(
call.id, url='Сюда deep link на бота с нужным содержанием').
Создаёшь message хендлер с CommandStart фильтром и с помощью регекса отлавливаешь нужный шаблон. Когда человек тыкает и нажимает START, по содержанию deep link ищешь нужный файл в БД и кидаешь пользователю